Bất đẳng thức Cosi là 1 trong trong mỗi kiến thức và kỹ năng toán học tập thịnh hành, được dùng nhằm giải nhiều loại toán về phương trình và bất phương trình không giống nhau hao hao mò mẫm độ quý hiếm lớn số 1 và độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức. Trong nội dung bài viết này, Team Marathon Education sẽ hỗ trợ những em làm rõ rộng lớn những kiến thức và kỹ năng về bất đẳng thức Cosi mang đến 2 số, mang đến 3 số, dạng tổng quát mắng và hệ trái khoáy với một vài bài xích luyện áp dụng đem đáp án.
Bạn đang xem: bđt cosi
>>> Xem thêm: Lý Thuyết Bất Đẳng Thức Đại Số Lớp 10
Bất đẳng thức Cosi là gì?
Bất đẳng thức Cosi là 1 trong bất đẳng thức truyền thống nhập toán học tập, bắt mối cung cấp kể từ bất đẳng thức thân ái tầm nằm trong và tầm nhân (AM – GM). BĐT Cosi được minh chứng vì chưng căn nhà toán học tập người pháp Augustin – Louis Cauchy. Ngoài thương hiệu Cosi, nhiều người hay còn gọi là bất đẳng thức Cauchy hoặc bất đẳng thức AM – GM (viết tắt của của Arithmetic Mean và Geometric Mean).
>>> Xem thêm: Bất Đẳng Thức Mincopxki Và Bài Tập Vận Dụng Có Đáp Án Chi Tiết
Các dạng trình diễn bất đẳng thức Cosi
Bất đẳng thức Côsi hoàn toàn có thể được trình diễn vì chưng dạng tổng quát mắng hoặc bên dưới nhiều loại quan trọng đặc biệt không giống nhau.
Bất đẳng thức Côsi dạng tổng quát
- Với những số thực ko âm x1, x2,…, xn tao hoàn toàn có thể trình diễn bất đẳng thức Cosi bên dưới 3 dạng như sau:
\begin{aligned} &\bull \textbf{Dạng 1}: \frac{x_!+x_2+...+x_n}{n}\ge \sqrt[n]{x_1.x_2...x_n}\\ &\bull \textbf{Dạng 2}: x_1+x_2+...+x_n\ge n. \sqrt[n]{x_1.x_2...x_n}\\ &\bull \textbf{Dạng 3}:\left(\frac{x_!+x_2+...+x_n}{n} \right)^n\ge x_1.x_2...x_n \end{aligned}
Dấu “=” xẩy ra Lúc và chỉ Lúc x1 = x2 = … = xn
- Với những số thực dương x1, x2,…, xn tao có:
\begin{aligned} &\bull \textbf{Dạng 1}: \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}\ge \frac{n^2}{x_1+x_2+...+x_n}\\ &\bull \textbf{Dạng 2}: (x_1+x_2+...+x_n)\left( \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}\right) \ge n^2 \end{aligned}
Dấu “=” xẩy ra Lúc và chỉ Lúc x1 = x2 = … = xn
Dạng quánh biệt của bất đặng thức Cauchy
Một số dạng trình diễn quan trọng đặc biệt không giống của bất đẳng thức Côsi:
Hệ trái khoáy của bất đẳng thức Côsi
Từ công thức tổng quát mắng và những dạng quan trọng đặc biệt, tao đem 2 hệ trái khoáy cần thiết của bất đẳng thức Cauchy tuy nhiên những em cần thiết ghi ghi nhớ tiếp sau đây. Các hệ trái khoáy này thông thường được vận dụng nhiều trong những việc mò mẫm độ quý hiếm lớn số 1 và độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức.
- Hệ trái khoáy 1: Nếu tổng của 2 số dương ko thay đổi thì tích của bọn chúng rộng lớn nhất lúc 2 số cơ cân nhau.
- Hệ trái khoáy 2: Nếu tích của 2 số dương ko thay đổi thì tổng của 2 số này nhỏ nhất lúc 2 số cơ cân nhau.
Chứng minh bất đẳng thức Cosi
Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số thực ko âm
Với 2 số thực ko âm a và b, tao thấy Lúc a và b đều vì chưng 0 thì biểu thức này luôn luôn chính. Lúc này, tao chỉ việc minh chứng bất đẳng thức Cosi luôn luôn chính với 2 số a, b dương.
Cách minh chứng như sau:
\begin{aligned} &\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\\ &\Leftrightarrow a+b \ge 2\sqrt{ab}\\ &\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge 0\\ &\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge0\text{ (luôn chính }\forall a,b\ge0) \end{aligned}
Như vậy, tao vẫn minh chứng được BĐT Cosi luôn luôn chính với 2 số thực ko âm.
Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 số thực ko âm
- Với a, b, c đều vì chưng 0, bất đẳng thức Cosi luôn luôn đúng
- Với a, b, c dương, tao minh chứng BĐT Cosi như sau:
\begin{aligned} &\text{Đặt }x=\sqrt[3]a, \ y=\sqrt[3]b,\ z=\sqrt[3]c\\ &\Rightarrow x,y,z\ge0\Rightarrow x+y+z\ge0 \end{aligned}
Lúc này, tao trở lại dạng minh chứng bất đẳng thức của 3 số thực x, hắn, z dương
\begin{aligned} &(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz \ge0\\ &\Leftrightarrow (x+y+z)[(x+y)^2-(x+y)z+z^2]-3xy(x+y+z)\ge 0\\ &\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy-xz-yz)-3xy(x+y+z)\ge 0\\ &\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)\ge 0\\ &\Leftrightarrow 2(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)\ge 0\\ &\Leftrightarrow (x+y+z)(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz)\ge 0\\ &\Leftrightarrow (x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2]\ge 0\text{ (luôn chính }\forall x,y,z\ge0)\\ \end{aligned}
Khi cơ, vệt vì chưng xẩy ra Lúc x = hắn = z hoặc a = b = c
Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực ko âm
Theo minh chứng bất đẳng thức Cosi với 2 số dương tao được biểu thức luôn luôn chính. Suy rời khỏi, với n = 2 (2 số thực ko âm) thì BĐT Cosi luôn luôn chính.
Do cơ, nhằm minh chứng bất đẳng thức luôn luôn chính với n số thì nên cần minh chứng nó cũng giống với 2n số. Cách minh chứng như sau:
x_1+x_2+...+x_n\ge n\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}+n\sqrt[n]{x_{n+1}x_{n+2}...x_{2n}}\ge 2n\sqrt[2n]{x_{n+1}x_{n+2}...x_{2n}}
Theo đặc thù quy hấp thụ thì bất đẳng thức này chính với n là 1 trong lũy quá của 2.
Giả sử bất đẳng thức Cosi chính với n số, tao minh chứng được nó luôn luôn chính với n-1 số như sau:
\begin{aligned} &x_1+x_2+...x_n\ge n\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}\\ &x_n=\frac{s}{n-1} \text{ với }s=x_1+x_2+...+x_n\\ &\Rightarrow s \ge (n-1)\sqrt[n-1]{x_1x_2...x_{n-1}} \end{aligned}
BĐT Cosi với 2n số và (n – 1) số luôn luôn chính, kể từ cơ tao hoàn toàn có thể Kết luận rằng BĐT Cosi với n số thực ko âm luôn luôn chính.
Bài luyện vận dụng
Dạng 1: sít dụng bất đẳng thức Cosi trực tiếp
Cho 3 số dương a, b, c, hãy bệnh minh:
\left(a+\frac1b\right)\left(b+\frac1c\right)\left(c+\frac1a\right)\ge 8
Hướng dẫn giải:
Áp dụng BĐT Cosi, tao có:
\begin{aligned} &a+\frac1b \ge 2\sqrt{\frac{a}{b}}\ ;\ b+\frac1c \ge 2\sqrt{\frac{b}{c}}\ ;\ c+\frac1a \ge 2\sqrt{\frac{c}{a}}\\ &\Leftrightarrow \left(a+\frac1b\right)\left(b+\frac1c\right)\left(c+\frac1a\right)\ge 8\sqrt{\frac{a}{b}}.\sqrt{\frac{b}{c}}\sqrt{\frac{c}{a}}=8\text{ (điều nên bệnh minh)} \end{aligned}
Đẳng thức xẩy ra Lúc và chỉ Lúc a = b = c.
Dạng 2: Biến thay đổi nhân phân tách, thêm thắt, hạ một biểu thức
Cho 3 số thực dương a, b, c, minh chứng rằng:
\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c
Hướng dẫn giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cosi, tao có:
\begin{aligned} &\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge 2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2b\ (1)\\ &\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge 2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ac}{b}}=2c\ (2)\\ &\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\ge 2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ac}{b}}=2a\ (3)\\ &(1)+(2)+(3) \Leftrightarrow2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\right)\ge 2(a+b+c)\\ &\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\text{ (điều nên bệnh minh)} \end{aligned}
Đẳng thức xẩy ra Lúc a = b = c.
Tham khảo tức thì những khoá học tập online của Marathon Education
Qua nội dung bài viết bên trên trên đây, Team Marathon Education vẫn share cho tới những em toàn cỗ nội dung tương quan cho tới bất đẳng thức Cosi lớp 8, lớp 9, lớp 10 bao hàm khái niệm, hệ trái khoáy, cơ hội minh chứng cùng theo với những dạng bài xích luyện thông thường gặp gỡ đem đáp án cụ thể. Hy vọng với những kiến thức và kỹ năng này, những em hoàn toàn có thể giải chất lượng tốt những bài xích luyện tương quan cho tới bất đẳng thức Côsi trong những bài xích đánh giá toán sắp tới đây.
Hãy tương tác tức thì với Marathon và để được tư vấn nếu như những em mong muốn học online trực tuyến nâng lên kiến thức và kỹ năng nhé! Marathon Education chúc những em được điểm trên cao trong số bài xích đánh giá và kỳ ganh đua chuẩn bị tới!
Bình luận